【Giáo trình Nhân Dân】Toán học cấp hai, lớp 8, học kỳ 2: Bí mật chồng giấy: Nhận diện hình bình hành

Hãy tưởng tượng ánh sáng song song trong vật lý đi qua lỗ trên tấm bìa cứng để lại vệt sáng trên bàn, hoặc cắt ngẫu nhiên hai miếng giấy mỏng trong suốt có cạnh song song và xếp chồng chúng lên nhau một cách tùy ý. Dù bạn xoay hai miếng giấy theo bất kỳ góc nào, vùng chồng chéo tối của chúng dưới ánh sáng luôn tạo ra một hình học hoàn hảo—hình bình hành.

Bản chất và phân tích hình bình hành

Trong hình học, 'song song' đại diện cho trật tự không bao giờ giao nhau. Khi kết hợp hai cặp đoạn thẳng song song với nhau, ta xác định được đa giác hấp dẫn này:Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song được gọi là hình bình hành(ký hiệu là $\square ABCD$).

Để giải mã bí mật của hình bình hành, các nhà toán học đã áp dụng một chiến lược tuyệt vời: giảm chiều."Nối đường chéo". Một đường chéo sẽ chia tứ giác chưa biết thành hai tam giác mà ta đã quen thuộc!

Bước 1: Giới thiệu đường chéo để xây cầu

Như hình 18.1-3, trong $\square ABCD$ nối đường chéo $AC$.

Sử dụng phép màu "góc so le trong" của các đường thẳng song song:
$\because AD \parallel BC$ và $AB \parallel CD$
$\therefore \angle 1 = \angle 2$, và $\angle 3 = \angle 4$.

Bước 2: Chiến thắng của các tam giác bằng nhau

Lúc này, $AC$ làcạnh chung.

Theo định lý "góc-cạnh-góc (ASA)", $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$.
Khi bằng nhau, các yếu tố tương ứng hoàn toàn bằng nhau:
$\therefore AD=CB$, $AB=CD$, và $\angle B=\angle D$.

Khoảng cách và chiều cao: Sự đồng điệu vĩnh cửu giữa các đường thẳng song song

Tại sao dù hình bình hành nghiêng thế nào đi nữa, chiều cao cùng đáy vẫn luôn giống nhau? Điều này dẫn đến khái niệm cốt lõi khác:khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Đoạn vuông góc từ một điểm bất kỳ trên một đường thẳng đến đường thẳng còn lại trong hai đường thẳng song song được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song này. Giống như hai đường ray xe lửa, độ dài những thanh tà vẹt giữa chúng luôn bằng nhau.

🎯 Quy tắc cốt lõi và định lý nhận dạng

Chỉ cần nắm vững kỹ thuật chia thành các tam giác bằng nhau, bạn có thể dễ dàng suy ra tất cả các tính chất và định lý nhận dạng!

Định lý tính chất:Hai cạnh đối của hình bình hành bằng nhau; hai góc đối bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Định lý nhận dạng (suy luận ngược lại):Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành; tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành; tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành; tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.

CÂU HỎI 1

Trong hình bình hành $\square ABCD$, biết hai cạnh kề $AB=5$, $BC=3$, hãy tìm chu vi của hình bình hành này.

CÂU HỎI 2

Trong hình bình hành $\square ABCD$, biết góc trong $\angle A=38^{\circ}$, thì số đo $\angle B$ và $\angle C$ là bao nhiêu?

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

$\angle B=38^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=52^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

CÂU HỎI 3

Tiểu Minh đi về hướng Đông $80\text{ m}$, rồi đi thêm $60\text{ m}$ theo hướng khác, sau đó đi thêm $100\text{ m}$ theo hướng thứ ba thì trở về điểm xuất phát. Hỏi sau khi đi về hướng Đông $80\text{ m}$, lần thứ hai Tiểu Minh đi theo hướng nào?

Hướng Nam hoặc Hướng Bắc

Hướng Đông Bắc hoặc Đông Nam

Hướng Đông hoặc Hướng Tây

Hướng Tây Bắc hoặc Tây Nam

CÂU HỎI 4

Để đảm bảo hai đường ray xe lửa thẳng được đặt song song tuyệt đối, công nhân chỉ cần làm cho các thanh tà vẹt song song nằm giữa hai đường ray có độ dài bằng nhau. Nguyên lý hình học nào được chứa đựng trong điều này?

Các đoạn thẳng song song nằm giữa hai đường thẳng song song bằng nhau, và khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng nhau ở mọi nơi

Các góc tương ứng của tam giác bằng nhau bằng nhau

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh thứ ba

CÂU HỎI 5

Như hình vẽ, $\square OABC$ nằm trong hệ tọa độ vuông góc, tọa độ các đỉnh $O, A, C$ lần lượt là $(0,0), (a,0), (b,c)$. Sử dụng tính chất hình bình hành, tọa độ đỉnh $B$ là bao nhiêu?

$(a+b, c)$

$(a, c)$

$(b-a, c)$

$(a+c, b)$

Thực hành thực tế: Khám phá sâu về hình bình hành

Vận dụng tam giác bằng nhau và định lý nhận dạng để giải quyết các bài toán tổng hợp

Câu hỏi 1

[Khám phá thực hành] Cắt hai miếng giấy có hai cặp cạnh đối song song, xếp chồng lên nhau một cách tùy ý, phần chồng chéo tạo thành một tứ giác $ABCD$. Khi xoay một trong hai miếng giấy, độ dài đoạn thẳng $AD$ và $BC$ có mối quan hệ gì? Vì sao?

Lời giải chi tiết:
Mối quan hệ:Đoạn thẳng $AD = BC$.
Lý do:Khi hai miếng giấy chồng chéo, do các cạnh đối của chính miếng giấy song song với nhau, nên trong tứ giác $ABCD$ tạo thành bởi phần chồng chéo chắc chắn tồn tại $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$. Theo định nghĩa: 'Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành', tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Sau đó, theo định lý tính chất hình bình hành: 'Hai cạnh đối bằng nhau', suy ra $AD = BC$. Dù xoay góc thế nào, định lý này vẫn luôn đúng.

Câu hỏi 2

[Chu vi và đường chéo] Trong $\square ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$. Biết $BC=10, AC=8, BD=14$.
(1) Chu vi của $\triangle AOD$ là bao nhiêu?
(2) Chu vi của $\triangle ABC$ và $\triangle DBC$ cái nào dài hơn? Dài hơn bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:
(1) Tìm chu vi của $\triangle AOD$:
Theo tính chất 'hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm' và 'hai cạnh đối bằng nhau' của hình bình hành, ta có:
$AO = \frac{1}{2}AC = 4$,
$DO = \frac{1}{2}BD = 7$,
$AD = BC = 10$.
Do đó chu vi $\triangle AOD$ = $AD + AO + DO = 10 + 4 + 7 = 21$.

(2) So sánh chu vi của $\triangle ABC$ và $\triangle DBC$:
Chu vi $\triangle ABC$ = $AB + BC + AC = AB + 10 + 8 = AB + 18$.
Chu vi $\triangle DBC$ = $CD + BC + BD$. Vì $CD = AB$, nên chu vi = $AB + 10 + 14 = AB + 24$.
So sánh thấy rằng chu vi $\triangle DBC$ dài hơn chu vi $\triangle ABC$, dài hơn $24 - 18 = 6$.

Câu hỏi 3

[Thử thách chứng minh] Như hình vẽ, hai đường chéo $AC, BD$ của hình bình hành $\square ABCD$ cắt nhau tại điểm $O$, $EF$ là một đường thẳng đi qua điểm $O$, và cắt $AB, CD$ lần lượt tại điểm $E, F$. Chứng minh rằng $OE=OF$.

Quá trình chứng minh:
Trong $\square ABCD$, hai cạnh đối $AB \parallel CD$, và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, nên $OA = OC$.
$\because AB \parallel CD$
$\therefore \angle OAE = \angle OCF$ (hai đường thẳng song song, góc so le trong bằng nhau).
Trong $\triangle AOE$ và $\triangle COF$:
$\begin{cases} \angle OAE = \angle OCF \\ OA = OC \\ \angle AOE = \angle COF \text{ (góc đối đỉnh bằng nhau)} \end{cases}$
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle COF$ (định lý ASA).
$\therefore OE = OF$ (các cạnh tương ứng của tam giác bằng nhau). Chứng minh xong.
*洞察：这个结论说明，过平行四边形中心的任意直线，不仅平分平行四边形的面积，其被对边截得的线段也被中心平分。

Câu hỏi 4

[Liên kết nhiều hình đồ] Như hình vẽ, có hai tứ giác liên kết với nhau là $ABCD$ và $CDEF$, biết $AB=DC=EF$, $AD=BC$, $DE=CF$. Trong hình có những đoạn thẳng song song nào?

Lời giải chi tiết:
Có ba nhóm đoạn thẳng song song trong hình:$AB \parallel DC \parallel EF$,$AD \parallel BC$, và $DE \parallel CF$.
Quá trình suy luận:
1. Trong tứ giác $ABCD$, vì $AB=DC$ và $AD=BC$. Theo định lý nhận dạng 'tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành', tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Từ đó suy ra $AB \parallel DC$ và $AD \parallel BC$.
2. Tương tự, trong tứ giác $CDEF$, vì $DC=EF$ (do $AB=DC=EF$ suy ra) và $DE=CF$. Tứ giác $CDEF$ cũng là hình bình hành. Từ đó suy ra $DC \parallel EF$ và $DE \parallel CF$.
3. Cuối cùng, vì $AB \parallel DC$ và $DC \parallel EF$, theo tính chất bắc cầu của các đường thẳng song song, chắc chắn có $AB \parallel EF$. Do đó, ba đoạn thẳng $AB, DC, EF$ là song song với nhau.

Câu hỏi 5

[Kết hợp đại số và hình học] Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, biết một cạnh $AB=6$, và độ dài $AB$ đúng bằng $\frac{3}{16}$ chu vi của $\square ABCD$. Vậy độ dài cạnh kề $BC$ là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:
1. Trước tiên, dựa trên tỷ lệ độ dài $AB$ tìm chu vi tổng. Chu vi $L = 6 \div \frac{3}{16} = 6 \times \frac{16}{3} = 32$.
2. Theo tính chất hai cạnh đối bằng nhau của hình bình hành, chu vi $= 2 \times (AB + BC)$.
3. Thay các giá trị đã biết vào phương trình: $32 = 2 \times (6 + BC)$.
4. Giải phương trình thu được $6 + BC = 16$, do đó $BC = 10$.

Câu hỏi 6

[Phân biệt khái niệm] Tứ giác thỏa mãn các điều kiện sau có phải là hình vuông không?
(Kiến thức bổ sung: Nếu là tam giác vuông, ba cạnh thỏa mãn $a^2=c^2-b^2$. Tứ giác sẽ tiến hóa như thế nào?)
Nếu ba cạnh của tam giác $a, b, c$ thỏa mãn $a^2 = c^2 - b^2$, thì tam giác tạo bởi ba đoạn thẳng này có phải là tam giác vuông không? Vì sao?

Lời giải chi tiết:
Có, nó là tam giác vuông!
Chuyển vế đơn giản phương trình $a^2 = c^2 - b^2$, ta được:$a^2 + b^2 = c^2$.
Theođịnh lý đảo Pythagoras, nếu ba cạnh của một tam giác thỏa mãn tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh thứ ba, thì tam giác đó chắc chắn là tam giác vuông (và $c$ là cạnh huyền).
*Suy nghĩ mở rộng:Nếu một hình bình hành bị chia bởi đường chéo thành hai tam giác vuông (tức là các góc trong hình bình hành là $90^{\circ}$), nó sẽ tiến hóa thành hình chữ nhật; nếu hai cạnh kề cũng bằng nhau, nó cuối cùng sẽ tiến hóa thành hình vuông. Khái niệm cơ bản về góc vuông và song song chính là nền tảng để khám phá mọi tứ giác đặc biệt!